SEMESTER GENAP
LIMIT FUNGSI
SEMESTER GANJIL
Pertemuan ke-1
PELUANG
A. Kaidah Pencacahan
Kaidah pencacahan adalah suatu ilmu yang berkaitan dengan menentukan banyaknya cara suatu percobaan dapat terjadi.
1. Aturan Penjumlahan
Jika ada sebanyak a benda pada himpunan pertama dan ada sebanyak b benda pada himpuan kedua, dan kedua himpuan itu tidak beririsan, maka jumlah total anggota di kedua himpuan adalah a + b.
Contoh : 1
Jika seseorang akan membeli sebuah sepeda motor di sebuah dealer. Di dealer itu tersedia 5 jeis Honda, 3 jenis Yamaha, dan 2 jenis Suzuki.
Dengan demikian orang tersebut mempunyai pilihan sebanyak 5 + 3 + 2 = 10 jenis sepeda motor.
2. Aturan Perkalian
Pada aturan perkalian ini dapat diperinci menjadi dua, namun keduanya saling melengkapi dan memperjelas. Kedua kaidah itu adalah menyebutkab kejadian satu persatu dan aturan pemngisian tempat yang tersedia.
Contoh : 1
Anton mempunyai 3 kaos yang berwarna putih, merah dan biru serta mempunyai 2 celana panjang yang berwarna hitam dan cokelat. Tentukan kemungkinan – kemungkinan Anton memakai kaos dan celana panjang!
Penyelesaian :
Terdapat 3 cara untuk menentukan kemungkinan – kemungkinan Anton memakai kaos dan celana panjang.
· Dengan Diagram pohon dan tabel silang diperoleh:
· Dengan Himpunan pasangan terurut
{(Putih, Hitam), (Putih, Cokelat), (Merah, Hitam), (Merah, Cokelat), (Biru, Hitam), (Biru, Cokelat)}
Dari ketiga cara di atas, dapat disimpulkan banyak cara Anton memakai kaos dan celana
panjang = 6 cara = 3 × 2 = banyak cara memakai kaos × banyak cara memakai celana panjang.
Contoh : 2
Dari kota A ke kota B dapat ditempuh dengan 2 cara, dari kota B ke kota C dapat ditempuh dengan 4 cara. Berapa cara yang dapat ditempuh dari kota A ke kota C ?
Penyelesaianya :
Dari keterangan di atas, jaringan jalan yang menghubugkan kota A, kota B dan C dapat dibuat diagram sebagai berikut:
Hasil yang mungkin adalah : 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4. Jadi banyaknya ada 8 cara.
Contoh : 3
Suatu gedung mempunyai 4 pintu keluar masuk. Berapa cara seseorang dapat masuk dan keluar?
a) dengan pintu yang berbeda
b) dengan pintu mana saja
Penyelesaian:
Misalkan pintunya A, B, C, dan D
AB artinya : masuk pintu A dan keluar pintu B
BA artinya : masuk pintu B dan keluar pintu A
a) dengan pintu yang berbeda hasilnya:
AB, AC, AD, BC, BD, BA, CD, CA, CB, DA, DB, DC jadi banyaknya: 12 cara
b) dengan pintu masa saja, hasilnya:
AA, AB, AC, AD, BC, BD, BA, BB, CD, CA, CB, CC, DA, DB, DC, DD.
Jadi banyaknya : 16 cara
b. Aturan pengisian tempat yang tersedia
Menentukan banyaknya cara suatu percobaan selalu dapat diselesaikan dengan meyebutkan kejadian satu persatu. Akan tetapi, akan mengalami kesulitan kejadiannya cukup banyak. Hal ini akan lebih cepat jika diselesaikan dengan menggunakan aturan pengisian tempat yang tersedia atau dengan mengalikan.
Contoh 1:
Alya mempunyai 5 baju dan 3 celana. Berapa cara Alya dapat memakai baju dan celana?
Peyelesaian :
Misalkan kelima baju itu B1, B2, B3, B4, B5 dan ketiga celana itu C1, C2, C3. Hasil yang mungkin terjadi adalah….
B1 B2 B3 B4 B5 | |
C1 C2 C3 | C1B1 C1B2 C1B3 C1B4 C1B5 C2B1 C2B2 C2B3 C2B4 C2B5 C3B1 C3B2 C3B3 C3B4 C3B5 |
Jadi banyaknya cara Alya dapat memakai baju da celana = 15 cara
Langkah diatas dapat diselesaikan dengan:
Baju Celana
Jadi, ada 5 ´ 3 cara = 15 cara
Contoh 2:
Salma mempunyai 5 baju, 3 celana, 2 sepatu dan 4 topi. Tentukan berapa cara Salma dapat memakainya ?
Jadi, ada 5 ´ 3 ´ 2 ´ 4 cara = 120 cara.
Secara umum dapat dirumuskan:
Contoh 3:
Dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5 dan 6, berapa banyaknya bilangan yang terdiri dari 4 angka yang dapat disusun?
a) tanpa pengulangan
b) boleh berulang
Penyelesaian :
a) Tanpa pengulangan
Empat angka berarti ribuan, sehingga diperlukan empat tempat
Angka nol (0) tidak mungkin menempati urutan pertama sehingga yang mungkin angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 atau 6 cara dan tanpa pengulangan maka :
Jadi banyaknya bilangan yang dapat disusun adalah:
6 ´ 6 ´ 5 ´ 4 = 720 bilangan
b) Pengulangan
Angka nol tidak mungkin menempati urutan pertama sehingga ada 6 cara, untuk urutan kedua dan seterusnya masing-masing tujuh cara sebab semua angka memungkinkan karena berulang maka diperoleh:
Jadi banyaknya bilangan yang dapat disusun adalah:
6 ´ 7 ´ 7 ´ 7 = 2058 bilangan.
TUGAS 1:
1. Santo seorang pelajar SMK swasta di Solo. Santo memiliki tiga jenis alat transportasi yang ia kendarai dari rumah ke sekolah. Antara lain: sepeda (sepeda mini, sepeda gunung), sepeda motor (yamaha, honda, suzuki) serta mobil (sedan, kijang, pick-up). Berapa banyak cara Santo untuk berangkat dari rumah ke sekolah?
2. Seseorang mempunyai tiga pasang sepatu dan lima pasang kaus kaki. Dengan aturan tabel tentukanlah banyaknya cara orang tersebut dalam mengenakan sepatu dan kaus kaki
3. Tentukanlah banyaknya bilangan yang terdiri atas tiga angka yang dapat disusun dari angka-angka 3, 4, 5, 6 dan 7 jika :
(a) angka-angkanya tidak boleh muncul berulang
(b) angka-angkanya boleh muncul berulang
Pertemuan ke-2
LATIHAN SOAL: MATERI Pertemuan 9 dan 10
1. Pada pelemparan sebuah
dadu tentukan peluang kejadian muncul mata dadu 5.
2. Pada pelemparan sebuah logam dan sebuah dadu tentukan peluang munculnya angka pada uang logam dan mata dadu lebih dari 3.
3. Sebuah kantong berisi 4 bola merah, 3 bola biru dan 3 bola hijau. Jika sebuah bola diambil secara acak, tentukan peluang terambilnya bola merah!
4. Sebanyak 24 kartu diberi nomor 1 sampai 24. Tentukan peluang terambilnya kartu dengan nomor yang merupakan faktor dari 16.
5. Suatu bibit padi mempunyai peluang tumbuh 0,82. Jika sekitar 1.000 bibit
padi ditanam di sawah, maka berapa frekuensi harapan tumbuhnya bibit padi?
6. Dua buah dadu dilempar undi secara bersama-sama sebanyak 216 kali. Berapakah frekuensi harapan munculnya mata dadu berjumlah 5?
7. Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang kejadian munculnya mata dadu bukan angka genap!
8. Peluang seseorang menderita penyakit cacar air di suatu daerah yang sedang
terkena wabah adalah 0,8. Jika banyak penduduk di daerah tersebut adalah 600
orang, maka tentukan banyaknya penduduk yang tidak terkena penyakit tersebut!
BAB II STATISTIKA
1). Pengertian dan Kegunaan Statistika
Statistika banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari.
Pernyataan-pernyataan seperti: pada bulan maret tahun 2006 terjadi kecelakaan di jalan tol Jagorawi sebanyak 15 kali, dengan korban meninggal dunia sebanyak
6 orang dan lainnya luka-luka. Ada sekitar
20 % usia produktif penduduk Indonesia menganggur, setiap 20 detik
sebuah perusahaan sepeda motor menghasilkan
satu produk dan sebagainya, yang sering kita dengar, baik dari media elektronik maupun
dari media cetak. Instansi terkait menggunakan statistika untuk menilai
progress
dari perusahaannya dimasa lalu
dan juga dapat membuat rencana untuk masa yang akan datang.
Demikian pentingnya
peranan statistika dalam kehidupan ini, baik dalam kegiatan
pemerintahan, perusahaan maupun dalam kehidupan sehari-hari,
sehingga kita juga
perlu mengetahui apa yang
dimaksud dengan
statistika tersebut.
Untuk keperluan praktis statistika dapat diartikan sebagai berikut:
a. Dalam arti sempit, statistika berarti
statistik
yang
berarti
sekumpulan data.
Misalnya statistik
tentang penduduk, yang dimaksudkan adalah data atau
keterangan berbentuk angka ringkasan mengenai penduduk
(jumlahnya, rata-rata umur,
distribusinya, jumlah balita,
jumlah angkatan kerja, jumlah usia sekolah,
distribusi pekerjaan dan sebagainya).
b. Dalam arti luas, statistika berarti pengetahuan
yang berhubungan dengan
pengumpulan data , penyajian data , pengolahan data, penarikan kesimpulan dan pengambilan keputusan secara logis
dan rasional tentang data tersebut.
Karena begitu panjang kegiatan dalam ilmu statistika
tersebut, maka dalam
pembahasannya Statistika dibagi
menjadi 2,
yaitu:
a. Statistika Deskriptif/Deduktif adalah
statistika yang
kegiatannya dimulai dari pengumpulan sampai pada analisis
data yang paling sederhana, bersifat memberi gambaran suatu data apa adanya dan meringkas data agar mudah dibaca.
b. Statistika Inferensial/Induktif adalah statistika yang
kegiatannya dimulai dari pengumpulan data sampai pada pengambilan kesimpulan
secara
logis
dan
rasional. Statistika ini dilakukan untuk menentukan
kebijakan atau penelitian.
Kegunaan Statistika secara umum antara lain sebagai
berikut:
ü Memberikan cara mencatat data secara sistematis.
ü Memberi petunjuk pada penelitian
supaya berpola pikir dan bekerja secara pasti
dan mantap.
ü Dapat meringkas data dalam bentuk yang mudah
dianalisis.
ü Alat untuk memprediksi secara ilmiah dari suatu kejadian
yang akan datang.
ü Dapat menyelesaikan suatu gejala sebab akibat yang rumit.
Seorang pemimpin
perusahaan mengambil manfaat dari statistika
untuk melakukan
tindakan-tindakan yang perlu dalam
menjalankan tugasnya, diantaranya: perlukah
mengangkat pegawai baru, sudah waktunyakah untuk
merevitalisasi mesin-mesin yang ada, bermanfaatkah
jika pegawai yang ada ditraining, berapa banyak produk yang diproduksi dan yang dapat diserap oleh pasar, berapa barang harus diproduksi pada tahun
yang akan datang guna memenuhi kebutuhan konsumennya dan sebagainya. Jika dikaitkan dengan masalah manajemen, statistika dapat dipergunakan
sebagai berikut:
a. Dasar suatu perencanaan, agar perencanaan sesuai
dengan kemampuan yang ada, sehingga
dapat menghindari perencanaan
yang ambisius yang menyebabkan
tidak mudah untuk dilaksanakan.
b. Alat pengendali terhadap
pelaksanaan atau implementasi
perencanaan sehingga dapat diketahui sesegera mungkin terhadap kesalahan atau penyimpangan yang terjadi dan dapat segera diperbaiki atau dikoreksi.
c. Dasar evaluasi hasil kerja akhir.
Apakah hasil kerja yang telah
ditargetkan dapat tercapai sesuai dengan rencana?
Berapa persenkah ketercapaiannya? Hambatan- hambatan apa yang
muncul dalam pelaksanaan rencana tersebut?
2). Data Statistika
Data adalah sekumpulan keterangan yang dapat
menjelaskan sesuatu
hal. Tidak mungkin ada kegiatan
statistika tanpa adanya data. Data tidak memiliki arti yang signifikan tanpa adanya kegiatan statistika. Oleh karena itu pada kegiatan statistika mulai
dari pengumpulan data sampai pada pengambilan kesimpulan secara logis dan rasional membutuhkan
data yang baik.
Syarat-syarat data yang baik, yang dapat menganalisis untuk
mendapatkan kesimpulan yang valid, adalah sebagai berikut:
ü Data harus objektif, yaitu data harus apa adanya dan tidak adanya
rekayasa.
ü Data harus representatif, yaitu data harus dapat mewakili
dari keseluruhan objek
pengamatan.
ü Data harus reliabel, yaitu data yang memiliki kesalahan baku relatif kecil, sehingga jika membuat suatu perkiraan
selisih antara perkiraan
dengan sebenarnya sangat kecil.
ü Data harus relevan,
yaitu data harus sesuai dengan penelitian yang dikehendaki.
ü Data harus uptodate, yaitu data yang digunakan harus data terbaru/terkini.
Sebelum pengumpulan data, seorang peneliti harus menentukan dahulu
apakah data dalam bentuk populasi, yaitu keseluruhan data yang akan diteliti, atau data dalam bentuk
sampel. Hal ini tergantung dari maksud dan
tujuan dari penelitian tersebut. Untuk keperluan praktis,
pengumpulan
data
biasanya
dilakukan
dengan
cara pengambilan sebagian dari populasi yang dikenal dengan sampel. Sampling adalah cara pengumpulan
data. Data yang diperoleh hasil sampling merupakan data perkiraan (estimate value). Jadi, misalnya dari 200 SMK di DKI Jakarta
akan diteliti hanya 20 sekolah
yang sama, maka hasil penelitian terhadap 20 sekolah
tersebut merupakan suatu perkiraan.
Untuk keperluan penelitian yang variatif, dibutuhkan juga
data yang variatif sehingga
dapat menunjang dari hasil penelitian tersebut.
Untuk itu data dibedakan
beberapa macam antara lain:
x Data menurut penyajiannya, terbagi menjadi:
o Data tunggal, yaitu data yang disajikan satu per satu.
o Data kelompok,
yaitu
data
yang disajikan berdasarkan interval tertentu
(dikelompok-kelompokkan).
x Data berdasarkan pengukurannya, terbagi
menjadi:
o Data
diskrit,
yaitu
data
yang
diperoleh
dari
hasil
menghitung,
misalkan jumlah rata-rata guru setiap SMK di
Pulau Jawa ada 30 orang.
o Data kontinu, yaitu data yang diperoleh dari hasil mengukur, misalkan rata- rata tinggi siswa SMK di DKI Jakarta adalah 160 cm
x Data berdasarkan sifatnya:
o Data kuantitatif, yaitu data yang berupa angka atau bilangan.
o Data kualitatif, yaitu data yang bukan berbentuk angka, melainkan hanya keterangan, misalkan data tentang jenis kelamin, hobi, agama, dan lain-lain.
x Data berdasarkan sumbernya:
o Data internal,
yaitu data yang diperoleh dari instansinya sendiri, misalkan untuk keperluan identitas pegawai suatu perusahaan, diambil data tentang personalia.
o Data eksternal, yaitu data yang diperoleh
dari luar instansinya sendiri, misalkan
untuk keperluan tentang
perkembangan harga produk suatu perusahaan, data yang
diambil diluar perusahaan
dengan tujuan untuk membandingkan harga
produknya.
x Data berdasarkan cara memperolehnya:
o Data primer, yaitu data yang dikumpulkan langsung dari objeknya
kemudian di olah sendiri, misalkan
ingin mengetahui rata-rata produk sabun yang terpakai
tiap bulan, langsung memberikan wawancara atau memberi kuesioner kepada
masyarakat tertentu.
o Data sekunder, yaitu data yang diperoleh dari data yang sudah dikelola pihak
lain yang sudah dipublikasikan, misalkan dari majalah, Biro Pusat Statistik, dan lain-lain.
3). Pengumpulan Data
Yang perlu diperhatikan dalam pengumpulan
data adalah terlebih dahulu harus
mengetahui untuk apa
data tersebut dikumpulkan. Apakah
data tersebut sekadar
untuk mendapatkan gambaran
mengenai suatu keadaan/permasalahan atau untuk memecahkan suatu permasalahan.
Apapun tujuan pengumpulan data, terlebih
dahulu harus diketahui jenis elemen atau objek yang akan diselidiki.
Tujuan pengumpulan data selain untuk mengetahui jumlah/banyaknya elemen juga
untuk mengetahui karakteristik
dari elemen-elemen tersebut. Karakteristik adalah sifat-
sifat, ciri-ciri
atau
hal-hal
yang
dimiliki oleh elemen
tersebut, yaitu keterangan mengenai elemen. Misalnya, elemen itu pegawai suatu perusahaan, maka karakteristik yang perlu diketahui antara lain jenis kelamin, pendidikan, usia masa kerja, gaji,
golongan dan sebagainya. Seringkali data yang dikumpulkan menyebar pada wilayah yang luas dan sangat variatif, misalnya
data tentang penduduk
dan biasa disebut dengan populasi,
yakni kumpulan data yang sejenis akan tetapi dapat dibedakan
satu sama lain. Misalnya, seluruh siswa di DKI Jakarta merupakan
suatu populasi. Elemen dari data adalah orang, yaitu siswa di DKI Jakarta. Walaupun jenisnya sama
tetapi karakteristik secara keseluruhan akan berlainan, misalnya siswa sekolah dasar (SD),
SMP, SMA, dan SMK, usia, tempat tinggal, dan sebagainya.
Ada beberapa cara pengumpulan
data, antara lain:
a. Penelitian Langsung di lapangan atau laboratorium
Penelitian di lapangan biasanya disebut dengan observasi atau pengamatan merupakan teknik pengumpulan data dengan cara pengamatan terhadap objek, baik secara langsung maupun tidak langsung, misalnya penelitian terhadap situs-situs purbakala dan penelitian di dalam laboratorium. Pelaksanaan pengamatan dapat dilakukan dengan:
x Pengamatan langsung, yaitu pengamatan yang dilakukan tanpa perantara
(secara langsung) terhadap objek yang diteliti.
x Pengamatan tak langsung, yaitu pengamatan yang dilakukan terhadap objek melalui
perantaraan suatu alat atau cara.
x Pengamatan partisipasif, yaitu pengamatan yang dilakukan dengan cara ikut ambil bagian
atau melibatkan diri dalam situasi yang dialami oleh responden. Cara ini banyak
dilakukan terutama dalam penelitian psikologi, sosiologi maupun antropologi.
b. Interview (wawancara)
Teknik pengumpulan data yang dilakukan dengan cara mengadakan tanya jawab, baik secara langsung maupun tidak langsung dengan responden. Pada wawancara langsung, peneliti mengadakan tatap muka langsung dengan responden, sedangkan pada wawancara tidak langsung, peneliti mewawancarai perantara yang tahu persis tentang objek yang diteliti.
c. Kuesioner (Angket)
Angket dapat dipandang sebagai teknik pengumpulan data yang banyak kesamaannya dengan wawancara. Perbedaannya adalah wawancara dilakukansecara lisan, sedangkan angket dilakukan secara tertulis. Bentuk penyusunan angket ada dua macam, yaitu:
x Angket berstruktur, yaitu angket yang menyediakan kemungkinan jawaban.
x Angket tak berstruktur, yaitu angket yang tidak menyediakan kemungkinan jawaban.
0 komentar:
Posting Komentar